Z-Wert- und p-Wert-Rechner

Was ist ein Z-Wert?

Ein Z-Wert oder Standardwert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein einzelner Wert vom Mittelwert eines Datensatzes entfernt liegt. Damit lassen sich Werte aus unterschiedlichen Skalen vergleichbar machen.

Die Formel lautet:

Dabei ist x der Messwert, μ der Populationsmittelwert und σ die Standardabweichung der Population.

Z-Werte interpretieren

• z = 0: Der Wert liegt genau beim Mittelwert.
• z > 0: Der Wert liegt über dem Mittelwert.
• z < 0: Der Wert liegt unter dem Mittelwert.
• |z| > 2: Der Wert liegt mehr als zwei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt.
• |z| > 3: Der Wert liegt mehr als drei Standardabweichungen entfernt und ist sehr selten.

Was ist ein p-Wert?

Ein p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter Annahme einer wahren Nullhypothese ein mindestens so extremes Ergebnis zu beobachten wie das gemessene. In Hypothesentests dient er dazu, statistische Signifikanz einzuordnen.

Arten von p-Werten

1. Linksseitiger p-Wert: P(Z ≤ z), also die Wahrscheinlichkeit für einen Wert kleiner oder gleich z.
2. Rechtsseitiger p-Wert: P(Z ≥ z), also die Wahrscheinlichkeit für einen Wert größer oder gleich z.
3. Zweiseitiger p-Wert: 2 × P(Z ≤ -|z|), also die Wahrscheinlichkeit für einen mindestens so extremen Wert in beide Richtungen.

Signifikanzniveaus

Häufig verwendete Signifikanzniveaus sind 0,10, 0,05 und 0,01. Wenn der p-Wert kleiner als das gewählte α ist, wird die Nullhypothese im jeweiligen Test verworfen.

So verwenden Sie den Rechner

Der Rechner unterstützt drei Modi.

1. Z-Wert aus Messwert berechnen

Geben Sie Messwert, Mittelwert und Standardabweichung ein. Beispiel: Bei Mittelwert 85, Standardabweichung 15 und Messwert 100 gilt z = (100 - 85) / 15 = 1,0.

2. p-Wert aus Z-Wert berechnen

Geben Sie einen Z-Wert ein, um linksseitige, rechtsseitige und zweiseitige Wahrscheinlichkeiten zu erhalten. Für z = 1,96 liegt der zweiseitige p-Wert ungefähr bei 0,05.

3. Z-Wert aus p-Wert berechnen

Geben Sie einen zweiseitigen p-Wert ein, um den zugehörigen kritischen Z-Wert zu bestimmen. Bei p = 0,05 ergibt sich ungefähr z = ±1,96.

Standardnormalverteilung

Die Standardnormalverteilung ist eine Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Z-Werte folgen dieser Skala und erlauben die Berechnung standardisierter Wahrscheinlichkeiten.

Wichtige Eigenschaften

• Die Verteilung ist symmetrisch um den Mittelwert.
• Etwa 68 % der Werte liegen innerhalb von ±1 Standardabweichung.
• Etwa 95 % der Werte liegen innerhalb von ±2 Standardabweichungen.
• Etwa 99,7 % der Werte liegen innerhalb von ±3 Standardabweichungen.

Praxisbeispiel

Eine Fabrik produziert Bolzen mit einer mittleren Länge von 50 mm und einer Standardabweichung von 2 mm. Ein Bolzen misst 54 mm. Der Z-Wert beträgt (54 - 50) / 2 = 2,0. Ein zweiseitiger p-Wert von ungefähr 0,0455 bedeutet, dass solche oder extremere Abweichungen nur in etwa 4,55 % der Fälle auftreten, wenn die angenommene Verteilung stimmt.

Grenzen und Annahmen

Z-Werte und p-Werte setzen passende Modellannahmen voraus. Daten sollten für diese Rechnung näherungsweise normalverteilt sein, Beobachtungen sollten unabhängig sein, und Mittelwert sowie Standardabweichung müssen sinnvoll geschätzt oder bekannt sein. Bei kleinen Stichproben kann eine t-Verteilung geeigneter sein.