Was ist die Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist ein statistisches Maß für die Streuung einer Datenmenge. Eine niedrige Standardabweichung bedeutet, dass die Werte nahe am Mittelwert, auch Erwartungswert genannt, liegen. Eine hohe Standardabweichung zeigt, dass die Werte über einen größeren Bereich verteilt sind.

Sie gehört zu den gebräuchlichsten Streuungsmaßen und wird unter anderem in Wirtschaft, Wissenschaft, Technik und Qualitätskontrolle eingesetzt.

Grundgesamtheit oder Stichprobe

Bei der Berechnung ist wichtig, ob die Daten die gesamte Grundgesamtheit oder nur eine Stichprobe daraus beschreiben.

Grundgesamtheit (σ): Wird verwendet, wenn der Datensatz jedes Element der untersuchten Gruppe enthält, zum Beispiel die Körpergröße aller Personen in einem Land.
Stichprobe (s): Wird verwendet, wenn der Datensatz nur einen Ausschnitt aus einer größeren Gruppe enthält, zum Beispiel die Körpergröße von 100 zufällig ausgewählten Personen.

Der Rechner bestimmt beide Werte automatisch.

Zusammenhang mit der Varianz

Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung. Auch sie beschreibt die Streuung der Daten, hat aber die quadrierte Einheit der ursprünglichen Werte. Die Standardabweichung ist häufig leichter zu interpretieren, weil sie in derselben Einheit wie die Ausgangsdaten angegeben wird.

Formeln

Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ)

σ = \frac{\sum ( x _{i} - μ ) ^{2}}{N}

Dabei gilt:

$σ$ = Standardabweichung der Grundgesamtheit
$x_{i}$ = einzelner Wert
$μ$ = Mittelwert der Grundgesamtheit
$N$ = Umfang der Grundgesamtheit

Stichproben-Standardabweichung (s)

s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}

Dabei gilt:

$s$ = Stichproben-Standardabweichung
$x_{i}$ = einzelner Wert
$\overset{x}{ˉ}$ = Stichprobenmittelwert
$n$ = Stichprobenumfang

Beispiel

Nehmen wir die Zahlen 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 und 9.

Mittelwert: (2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 = 5
Varianz (Stichprobe): Man berechnet die Abweichung jedes Werts vom Mittelwert, quadriert diese Abweichungen, summiert sie und teilt durch n-1, also 7. Das Ergebnis beträgt ungefähr 4,57.
Standardabweichung (Stichprobe): Danach zieht man die Quadratwurzel aus der Varianz. $4, 57 \approx 2, 14$ .

So verwenden Sie den Rechner

Geben Sie Ihre Zahlen in das Textfeld ein. Sie können sie durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche trennen.
Der Rechner aktualisiert die Ergebnisse automatisch während der Eingabe.
Angezeigt werden sowohl Standardabweichung und Varianz für die Grundgesamtheit als auch für die Stichprobe.
Die Detailausgabe enthält Mittelwert, Summe, Anzahl und Spannweite.

Standardabweichungsrechner

Detaillierte Ergebnisse