Was ist eine Matrix?
Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten. Matrizen sind grundlegende Werkzeuge der Mathematik: Sie beschreiben lineare Transformationen, lösen lineare Gleichungssysteme und strukturieren Daten in Informatik und Physik. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten heißt m × n-Matrix.
Was dieser Rechner kann
Mit diesem Rechner können Sie zentrale Matrixoperationen schnell und zuverlässig durchführen. Sie können:
- Matrizen addieren und subtrahieren, wenn sie dieselbe Größe haben.
- Matrizen multiplizieren über das Skalarprodukt von Zeilen und Spalten.
- Die Determinante einer quadratischen Matrix berechnen.
- Den Rang bestimmen, also die Anzahl linear unabhängiger Zeilen erkennen.
- Die inverse Matrix einer quadratischen Matrix berechnen, sofern sie existiert.
Manuelle Berechnung
Matrixaddition und -subtraktion
Um zwei Matrizen zu addieren oder zu subtrahieren, addiert oder subtrahiert man die entsprechenden Elemente. Die Matrizen müssen dieselben Dimensionen haben. Für zwei Matrizen A und B lautet die Regel: (A ± B)ij = Aij ± Bij.
Beispiel:
Matrixmultiplikation
Die Matrixmultiplikation ist etwas anspruchsvoller. Das Element in Zeile i und Spalte j des Ergebnisses ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile der ersten Matrix mit der j-ten Spalte der zweiten Matrix: (AB)ij = Σₖ Aik Bkj.
Beispiel (2 × 2):
Determinante
Die Determinante ist eine besondere Zahl, die aus einer quadratischen Matrix berechnet wird. Für eine 2 × 2-Matrix ist die Formel einfach: det( [ [a, b], [c, d] ] ) = ad − bc.
Bei größeren Matrizen wird die Berechnung auf kleinere Teilmatrizen, sogenannte Minoren, zurückgeführt.
Inverse Matrix
Die inverse Matrix zu A wird als A⁻¹ geschrieben. Multipliziert man sie mit der ursprünglichen Matrix, erhält man die Einheitsmatrix I, also A · A⁻¹ = I.
Für eine 2 × 2-Matrix lautet die Inverse A⁻¹ = 1 / det(A) · [ [d, −b], [−c, a] ]. Hinweis: Eine Matrix besitzt nur dann eine Inverse, wenn ihre Determinante nicht null ist.