Überblick

Primfaktorzerlegung bedeutet, eine ganze Zahl als Produkt von Primzahlen zu schreiben. Primzahlen sind die Grundbausteine der positiven ganzen Zahlen: 2, 3, 5, 7, 11 und so weiter. Die Zahl 360 lässt sich zum Beispiel als 2^3 × 3^2 × 5 darstellen. Diese kompakte Schreibweise verrät deutlich mehr als die Zahl allein. Sie zeigt Teilbarkeit, gemeinsame Faktoren, die Anzahl der Teiler und Beziehungen zu anderen ganzen Zahlen.

Dieser Rechner eignet sich für Schulmathematik, Wettbewerbsaufgaben, Bruchkürzung, erste Schritte in Kryptografie, modulare Arithmetik und allgemeines Zahlverständnis. Er liefert Primfaktorzerlegung, Teilerzahl, kleinsten und größten Primfaktor, Anzahl verschiedener Primfaktoren, Radikal, Eulersche Phi-Funktion sowie ggT und kgV mit einer Vergleichszahl. Damit ist er mehr als ein Faktorbaum: Er ist ein kleines Werkzeug für Zahlentheorie.

So nutzt du den Rechner

Gib zuerst die ganze Zahl ein, die zerlegt werden soll. Die Oberfläche ist für positive ganze Zahlen in einem praktischen Bereich gedacht, nicht für extrem große kryptografische Zahlen. Danach kannst du eine Vergleichszahl eingeben, um größten gemeinsamen Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches zu berechnen. Mit 360 und 84 sieht man beispielsweise, welche gemeinsame Struktur beide Zahlen besitzen und welches kleinste gemeinsame Vielfache beide enthält.

Die Zerlegung wird mit Exponenten geschrieben, wenn ein Primfaktor mehrfach vorkommt. 2^3 bedeutet 2 × 2 × 2. Wenn die eingegebene Zahl selbst prim ist, besteht die Zerlegung nur aus dieser Zahl. Dann gibt es genau zwei positive Teiler, und kleinster sowie größter Primfaktor sind identisch.

Formel und Methode

Der Rechner nutzt Probedivision. Zuerst wird Teilbarkeit durch 2 geprüft, danach werden ungerade Divisoren getestet. Jedes Mal, wenn ein Divisor die Zahl ohne Rest teilt, steigt der Exponent dieses Primfaktors und der verbleibende Rest wird kleiner. Sobald der mögliche Divisor größer ist als die Quadratwurzel des Restwerts, muss ein übrig gebliebener Rest prim sein.

Aus den Primzahlpotenzen folgen weitere Werte. Gilt n = p^a × q^b, dann ist die Zahl der Teiler (a + 1)(b + 1). Das Radikal ist das Produkt der verschiedenen Primfaktoren, wobei jeder Primfaktor nur einmal zählt. Die Eulersche Phi-Funktion zählt, wie viele positive ganze Zahlen bis n zu n teilerfremd sind. Der ggT wird mit dem euklidischen Algorithmus berechnet, und das kgV folgt aus kgV(a,b) = a × b / ggT(a,b).

Beispiel

Für 360 liefert der Rechner 2^3 * 3^2 * 5. Die Teilerzahl ist (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24, weil jeder Exponent von null bis zu seinem Maximalwert gewählt werden kann. Der größte Primfaktor ist 5, der kleinste ist 2, und das Radikal beträgt 2 × 3 × 5 = 30.

Ist die Vergleichszahl 84, dann ist der größte gemeinsame Teiler 12 und das kleinste gemeinsame Vielfache 2.520. Diese Werte helfen beim Kürzen von Brüchen, beim Addieren von Brüchen mit verschiedenen Nennern oder beim Synchronisieren von Zyklen mit unterschiedlichen Wiederholungsintervallen.

Grenzen

Probedivision ist zuverlässig und gut nachvollziehbar, aber nicht für riesige Zahlen gedacht. Sehr große Zahlen benötigen spezielle Faktorisierungsalgorithmen. Der Rechner setzt außerdem normale positive ganze Zahlen voraus. Er faktorisiert keine Polynome, Dezimalzahlen, negativen Werte oder algebraischen Ausdrücke. Für Alltagsarithmetik und Lernen zeigt die Primfaktorzerlegung jedoch sehr klar, woraus eine Zahl aufgebaut ist.