Rechner für quadratische Gleichungen

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0, wobei:

• a der Koeffizient des quadratischen Terms (x²) ist und nicht null sein darf
• b der Koeffizient des linearen Terms (x) ist
• c der konstante Term ist

Das Lösen quadratischer Gleichungen gehört zu den grundlegenden Fähigkeiten in der Mathematik und wird von der Physik bis zur Wirtschaftswissenschaft verwendet.

Die Diskriminante

Die Diskriminante (Δ) ist die Schlüsselgröße beim Lösen quadratischer Gleichungen. Sie wird mit folgender Formel berechnet:

Ihr Wert zeigt, welche Art von Lösungen die Gleichung besitzt:

• Δ > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen
• Δ = 0: eine reelle Lösung (doppelte Nullstelle)
• Δ < 0: zwei komplexe Lösungen (keine reellen Lösungen)

Lösungsformel

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung erhält man mit der Mitternachtsformel:

Ist die Diskriminante positiv, liefert das ±-Zeichen zwei verschiedene Werte:

Scheitelpunkt der Parabel

Die quadratische Funktion y = ax² + bx + c bildet eine Parabel. Der Scheitelpunkt ist der Wendepunkt der Bewegungsrichtung der Parabel und liegt bei:

Wenn a > 0 ist, öffnet sich die Parabel nach oben und der Scheitelpunkt ist ein Minimum. Wenn a < 0 ist, öffnet sie sich nach unten und der Scheitelpunkt ist ein Maximum.

Beispiel

Lösen wir die Gleichung x² - 5x + 6 = 0.

Hier gilt a = 1, b = -5, c = 6.

1. Diskriminante:

   $$\Delta =(-5{)}^2-4(1)(6)=25-24=1$$

2. Lösungen:

   $$x_1=\frac{5+\sqrt{1}}{2}=\frac{5+1}{2}=3$$$$x_2=\frac{5-\sqrt{1}}{2}=\frac{5-1}{2}=2$$

3. Scheitelpunkt:

   $$x=-\frac{-5}{2(1)}=2,5$$$$y=-\frac{1}{4(1)}=-0,25$$

   Der Scheitelpunkt liegt bei (2,5; -0,25).

Verwendung

1. Geben Sie die Koeffizienten a, b und c in die jeweiligen Felder ein.
2. Der Rechner zeigt automatisch den Wert der Diskriminante an.
3. Die Lösungen werden abhängig von der Diskriminante dargestellt:
   • zwei reelle Lösungen (Δ > 0)
   • eine reelle Lösung (Δ = 0)
   • zwei komplexe Lösungen (Δ < 0)
4. Zusätzlich wird der Scheitelpunkt der Parabel angezeigt.

Komplexe Lösungen

Ist die Diskriminante negativ, sind die Lösungen komplexe Zahlen der Form a + bi, wobei i = √(-1) gilt. Diese Lösungen treten immer als konjugiertes Paar auf: a + bi und a - bi.