Überblick
Ein ebenes Dreieck ist eindeutig bestimmbar, sobald drei unabhängige Größen bekannt sind – mindestens eine davon muss eine Seitenlänge sein. Von Hand wird das schnell mühsam, weil je nach Eingabefall andere Formeln greifen. Dieser Dreiecksrechner deckt die klassischen Fälle ab: drei Seiten (SSS), zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel (SWS/SAS), zwei Winkel und eine Seite (WSW/WWS) sowie den mehrdeutigen Fall zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel (SSW/SSA).
Wenn die Eingaben ein gültiges Dreieck beschreiben, berechnet das Tool die fehlenden Seiten und Winkel sowie Fläche, Umfang, Höhen, Inkreisradius und Umkreisradius. Die Ergebnisse eignen sich für Konstruktionsskizzen, Zuschnittlisten, Geometrieaufgaben und schnelle Plausibilitätsprüfungen.
Eingaben und Nutzung
Es gibt sechs Felder: die Seiten a, b und c sowie die Winkel A, B und C. Tragen Sie nur die Werte ein, die Sie wirklich kennen, und lassen Sie die übrigen Felder leer. Mindestens drei Angaben sind erforderlich, und eine davon muss eine Seite sein, weil reine Winkelangaben zwar die Form, aber nicht die Größe festlegen. Wenn zwei Winkel bekannt sind, ergibt sich der dritte automatisch aus der Winkelsumme von 180°.
Der SSA-Fall kann zwei verschiedene Dreiecke liefern. Wenn das passiert, werden beide Lösungen nebeneinander angezeigt. Nutzen Sie die Beispiel-Schaltfläche, wenn Sie die Eingaben auf einen sauberen Ausgangsfall zurücksetzen möchten.
So funktioniert die Berechnung
Der Rechner kombiniert drei Standardbeziehungen. Für SSS und SAS wird der Kosinussatz verwendet:
A = rccos\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}Für ASA und AAS überträgt der Sinussatz das bekannte Verhältnis:
Abgeleitete Größen entstehen aus den bekannten Dreiecksformeln. Die Fläche kann mit Herons Formel oder mit berechnet werden. Für die Radien gilt:
Ergebnisse einordnen
Die Seiten- und Winkelkarten bestätigen zunächst die Form des Dreiecks. Fläche und Umfang beantworten die meisten Größenfragen, etwa bei Materialbedarf oder Layout. Höhen sind nützlich, wenn eine Senkrechte konstruiert, eine Trägerhöhe geprüft oder eine Projektion bestimmt werden soll. Inkreis- und Umkreisradius zeigen, welche Kreise das Dreieck berühren beziehungsweise durch seine Eckpunkte gehen.
Wenn keine Lösung erscheint, sind die Eingaben geometrisch widersprüchlich: Eine Seite ist zu lang, Winkel summieren sich falsch oder ein SSA-Fall liegt außerhalb des möglichen Bereichs. Prüfen Sie dann zuerst Einheiten und Winkelgrad statt Bogenmaß.
Beispiel
Wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind, kann der Rechner die fehlende Seite mit dem Kosinussatz bestimmen. Danach lassen sich die übrigen Winkel mit dem Sinussatz berechnen. Prüfen Sie anschließend, ob die Winkelsumme 180° ergibt.
Grenzen
Nicht jede Kombination aus Seiten und Winkeln beschreibt ein gültiges Dreieck. Bei SSA-Fällen kann es zwei mögliche Lösungen geben. Rundungsfehler können besonders bei sehr kleinen oder sehr flachen Winkeln sichtbar werden.