Kolmion pinta-alan, sivujen ja kulmien laskuri

Yleiskatsaus

Kolmiot ovat harvoja tasokuvioita, jotka voidaan ratkaista kokonaan, kunhan tunnet vähintään kolme mittaa. Tämä laskuri kokoaa yleisimmät tilanteet samaan näkymään: kolme sivua (SSS), kaksi sivua ja väliin jäävä kulma (SAS), kaksi kulmaa ja sivu (ASA/AAS) sekä kaksi sivua ja vastakkainen kulma (SSA). Kun syötät mittasi, sovellus täydentää puuttuvat sivut, kulmat, pinta-alan, korkeudet sekä sisä- ja ympyräsäteet, jotta sama tulos käy sekä rakennus-, mittaus- että opiskelukäyttöön.

Syötteet ja käyttö

Kentiä on kuusi: sivut a, b ja c sekä kulmat A, B ja C. Syötä vain tunnetut arvot ja jätä loput tyhjiksi. Vähimmäisvaatimus on kolme tunnettua lukua, joista vähintään yhden tulee olla sivu, jotta mittakaava säilyy. Jos tunnet kaksi kulmaa, kolmas lasketaan automaattisesti. SSA-tilanteessa kaksi erilaista kolmiota on mahdollinen, jolloin näet molemmat ratkaisut omilla korteillaan. Painike "Täytä esimerkkikolmio" palauttaa lähtöarvot, jos haluat aloittaa alusta tai tarkistaa kaavat uudelleen.

Miten se toimii

Laskenta perustuu kolmeen peruskaavaan:

• SSS ja SAS: puuttuva sivu tai kulma tulee kosinilaista.

  $$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos (A)}$$$$A=\arccos \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

• ASA ja AAS: sinilaki jatkaa tunnetun suhteen kaikkiin sivuihin.

  $$\frac{a}{\sin (A)}=\frac{b}{\sin (B)}=\frac{c}{\sin (C)}$$

• Johdetut suureet: pinta-ala haetaan Heronin kaavalla, korkeudet lasketaan yhtälöstä A = ½·b·c·sin(A) ja säteet ovat

  $$r=\frac{2\cdot \text{A}}{a+b+c}$$$$R=\frac{abc}{4\cdot \text{A}}$$

Tulosten tulkinta

Tulostaulukossa sivut ja kulmat paljastavat kolmion perusmuodon, pinta-ala ja ympärysmitta auttavat materiaali- tai tilatarpeen arvioinnissa ja korkeudet kertovat, kuinka pitkälle korkeusjana ulottuu joka sivulle. Sisä- ja ympyräsäde näyttävät, minkä kokoinen ympyrä mahtuu kolmion sisälle ja minkä kokoinen ympäripiirretty ympyrä kulkee kaikkien kärkien kautta. SSA-epävarmuudesta kertova huomautus muistuttaa vertaamaan molempia ratkaisuja reunaehtoihin, esimerkiksi siihen, voiko kolmas kulma olla hyvin terävä tai lähes suora.

Esimerkki

Oletetaan, että tiedossa ovat sivut b = 6,2 m ja c = 8,1 m sekä niiden väliin jäävä kulma A = 47°. Laskuri täydentää sivun a ≈ 5,96 m, kulmat B ≈ 49,5° ja C ≈ 83,5°. Ympärysmitta on noin 20,26 m ja pinta-ala 18,36 m². Korkeudet ovat ha ≈ 6,16 m, hb ≈ 5,92 m ja hc ≈ 4,53 m. Sisään piirretyn ympyrän säde on 1,81 m ja ympäripiirretyn 4,08 m, joten voit mitoittaa esimerkiksi tukipisteet molempien säteiden avulla.

Rajoitukset

Laskuri ei tarkista mittayksiköitä, joten varmista itse, että kaikki sivut ovat samassa yksikössä. SSA-tilanne voi palauttaa kaksi ratkaisua; jos kumpikaan ei sovi reaalimaailman mittoihin, mittaus on luultavasti virheellinen. Pienet kulmat tai lähes suorakulmaiset yhdistelmät saattavat olla herkkiä pyöristyksille, jolloin tulokset kannattaa pyöristää vasta lopuksi. Työkalu käsittelee vain tasokolmioita, joten pallokolmiot, koordinaattiheitot tai laitteiston toleranssit täytyy huomioida erikseen.