Alkutekijäjako
2^3 * 3^2 * 5
Kokonaisluku esitettynä alkulukujen potenssien tulona.
Lukuteoria
Alkutekijälaskuri
Jaa kokonaisluku alkutekijöihin ja tarkista jakajien määrä, suurin alkutekijä, SYT, PYJ, radikaali ja Eulerin φ-funktio.
Kokonaisluvut
Syötä jaettava kokonaisluku ja halutessasi vertailuluku SYT- ja PYJ-tuloksia varten. Laskuri palauttaa alkutekijäjaon sekä siihen liittyviä lukuteorian arvoja.
Jakajien määrä
24
Kuinka monta positiivista jakajaa luvulla on.
Suurin alkutekijä
5
Suurin alkuluku, joka jakaa syötetyn luvun tasan.
Tekijäyhteenveto
Alkutekijät näyttävät kokonaisluvun perusrakenteen. Niistä on hyötyä murtolukujen supistamisessa, yhteisten nimittäjien etsimisessä, jaollisuuden tarkistamisessa ja modulaarisessa aritmetiikassa.
Pienin alkutekijä
2
Eri alkutekijöitä
3
Suurin yhteinen tekijä
12
Pienin yhteinen jaettava
2 520
Radikaali
30
Eulerin φ-funktio
96
Yleiskuva
Alkutekijäjako tarkoittaa kokonaisluvun esittämistä alkulukujen tulona. Alkuluvut ovat positiivisten kokonaislukujen peruspalikoita: 2, 3, 5, 7, 11 ja niin edelleen. Esimerkiksi luku 360 voidaan kirjoittaa muodossa 2^3 × 3^2 × 5. Tämä tiivis esitys kertoo luvusta enemmän kuin pelkkä desimaalimuoto. Se paljastaa jaollisuutta, yhteisiä tekijöitä, jakajien määrän ja suhteen muihin kokonaislukuihin.
Tämä alkutekijälaskuri sopii koulumatematiikkaan, kilpailutehtävien harjoitteluun, murtolukujen supistamiseen, lukuteorian alkeisiin, modulaariseen aritmetiikkaan ja yleiseen numerotajuun. Laskuri palauttaa alkutekijäjaon, jakajien määrän, pienimmän ja suurimman alkutekijän, erillisten alkutekijöiden määrän, radikaalin, Eulerin φ-funktion sekä suurimman yhteisen tekijän ja pienimmän yhteisen jaettavan vertailuluvun kanssa.
Näin käytät laskuria
Syötä kokonaisluku, jonka haluat jakaa alkutekijöihin. Käyttöliittymä on tarkoitettu käytännöllisen kokoisille positiivisille kokonaisluvuille, ei erittäin suurille kryptografisille luvuille. Syötä sen jälkeen vertailuluku, jos haluat nähdä SYT- ja PYJ-tulokset. Esimerkiksi luvuilla 360 ja 84 näet, kuinka paljon yhteistä rakennetta luvuilla on ja mikä pienin yhteinen jaettava sisältää molemmat.
Alkutekijäjako kirjoitetaan eksponenttien avulla, jos sama alkuluku esiintyy useita kertoja. Merkintä 2^3 tarkoittaa 2 × 2 × 2. Jos syötetty luku on alkuluku, jako on vain luku itse, jakajia on kaksi ja pienin sekä suurin alkutekijä ovat sama arvo.
Kaava ja menetelmä
Laskuri käyttää koejakoa. Ensin tarkistetaan jaollisuus kahdella, minkä jälkeen käydään läpi parittomia jakajia. Aina kun jakaja menee lukuun tasan, kyseisen alkuluvun eksponentti kasvaa ja jäljellä oleva luku pienenee. Kun mahdollinen jakaja on suurempi kuin jäljellä olevan luvun neliöjuuri, jäljelle jäänyt arvo on väistämättä alkuluku.
Alkutekijöistä seuraavat myös muut tulokset. Jos n = p^a × q^b, jakajien määrä on (a + 1)(b + 1). Radikaali on erillisten alkutekijöiden tulo, joten sama alkuluku lasketaan vain kerran. Eulerin φ-funktio kertoo, kuinka moni luvuista 1...n on suhteellinen alkuluku luvun n kanssa. SYT lasketaan Eukleideen algoritmilla, ja PYJ saadaan kaavasta pyj(a,b) = a × b / syt(a,b).
Esimerkki
Luvulle 360 laskuri antaa 2^3 * 3^2 * 5. Jakajien määrä on (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24, koska jokaisen alkutekijän eksponentti voidaan valita nollasta enimmäisarvoon. Suurin alkutekijä on 5, pienin on 2 ja radikaali on 2 × 3 × 5 = 30.
Jos vertailuluku on 84, suurin yhteinen tekijä on 12 ja pienin yhteinen jaettava 2 520. Näistä on hyötyä, kun supistetaan murtolukuja, lasketaan eri nimittäjiä yhteen tai etsitään kahden eri jakson yhteistä toistumiskohtaa.
Rajoitukset
Koejako on luotettava ja helppo ymmärtää, mutta sitä ei ole tarkoitettu valtaville luvuille. Erittäin suuret luvut vaativat erikoistuneita algoritmeja. Laskuri olettaa myös tavallisia positiivisia kokonaislukuja. Se ei jaa polynomeja, desimaalilukuja, negatiivisia arvoja tai algebrallisia lausekkeita. Arkisessa laskennassa ja opiskelussa alkutekijäjako on silti tehokas tapa nähdä, mistä luku rakentuu.