Yleiskuva

2D-pääkomponenttilaskuri muuntaa kahden muuttujan kovarianssimatriisin helposti tulkittavaksi geometriseksi yhteenvedoksi. Pääkomponenttianalyysi eli PCA kysyy, missä suunnassa aineistossa on eniten vaihtelua. Kahden muuttujan tapauksessa vastaus voidaan esittää päävarianssina, toissijaisena varianssina, kulmana ja selitetyn varianssin osuutena. Tämä on hyödyllistä tilastotieteessä, datan visualisoinnissa, mittausepävarmuudessa, laadunvalvonnassa, teknisissä toleransseissa ja kaikissa tilanteissa, joissa kaksi suuretta liikkuu yhdessä.

Laskuri antaa myös korrelaation, kovarianssideterminantin, ellipsin akselisuhteen ja valitun pisteen Mahalanobis-etäisyyden. Yhdessä nämä luvut kertovat, kuinka leveä havaintopilvi on ja mihin suuntaan se kallistuu. Positiivinen kovarianssi tarkoittaa, että suuret X-arvot esiintyvät usein suurten Y-arvojen kanssa, jolloin pääakseli kallistuu ylöspäin. Negatiivinen kovarianssi kallistaa akselin alaspäin. Lähellä nollaa oleva kovarianssi pitää pääsuunnat lähempänä alkuperäisiä akseleita.

Näin käytät laskuria

Syötä X:n varianssi, Y:n varianssi ja muuttujien välinen kovarianssi. Käytä johdonmukaisia yksiköitä, koska varianssit ja kovarianssi ovat neliöidyissä yksiköissä. Lisää havaintojen määrä taustatiedoksi. Jos haluat tarkastella yksittäistä pistettä, syötä sen X- ja Y-koordinaatit sekä muuttujien keskiarvot. Piste ei ole välttämätön pääakselien ymmärtämiseksi, mutta se tekee Mahalanobis-etäisyydestä hyödyllisen.

Kaava ja menetelmä

Kovarianssimatriisi on [[varX, covXY], [covXY, varY]]. Laskuri ratkaisee matriisin kaksi ominaisarvoa. Suurempi ominaisarvo on päävarianssi ja pienempi toissijainen varianssi. Selitetty varianssi saadaan jakamalla suurempi ominaisarvo matriisin jäljellä eli varianssien summalla. Pääsuunnan kulma johdetaan ominaisvektorista. Korrelaatio on kovarianssi jaettuna X:n ja Y:n keskihajontojen tulolla. Mahalanobis-etäisyys käyttää kovarianssimatriisin käänteistä muotoa.

Tulosten tulkinta

Korkea selitetyn varianssin osuus tarkoittaa, että suurin osa vaihtelusta kulkee yhtä selkeää linjaa pitkin. Akselisuhde lähellä yhtä tarkoittaa pyöreämpää hajontaa, kun taas suuri akselisuhde kertoo venyneestä ellipsistä. Kulma näyttää, mihin suuntaan venymä osoittaa. Mahalanobis-etäisyys on usein tavallista etäisyyttä parempi, koska se huomioi, että vaihtelu voi olla luonnostaan suurempaa yhdessä suunnassa kuin toisessa.

Käytännön esimerkki

Oletetaan, että X:n varianssi on 9, Y:n varianssi 4 ja kovarianssi 3. Ensimmäinen pääkomponentti selittää suuren osan kokonaisvaihtelusta, koska muuttujat liikkuvat yhdessä. Piste X = 2, Y = 1 ei välttämättä ole poikkeava, jos se sijaitsee kallistuneen suuren vaihtelun suunnassa. Sama tavallinen etäisyys kohtisuoraan pääsuuntaa vastaan tuottaisi suuremman Mahalanobis-etäisyyden, koska havaintopilvi on siinä suunnassa kapeampi.

Rajoitukset

Laskuri olettaa, että annetut arvot muodostavat järkevän symmetrisen kovarianssimatriisin. Jos kovarianssi on liian suuri suhteessa variansseihin, determinantti voi muuttua negatiiviseksi ja tilastollinen tulkinta hajoaa. PCA on myös herkkä skaalalle: suuremmissa yksiköissä mitatut muuttujat voivat hallita tulosta, ellei niitä standardoida. Käytä työkalua läpinäkyvään 2D-analyysiin, opetukseen ja tarkistuksiin; suuremmille aineistoille kannattaa käyttää varsinaista tilasto-ohjelmistoa.

Usein kysytyt kysymykset

Kannattaako muuttujat standardoida ennen PCA-tulkintaa? Kyllä, jos X ja Y ovat eri yksiköissä tai eri mittakaavassa. Standardointi muuttaa analyysin korrelaatiopohjaiseksi ja estää suurinumeroista muuttujaa hallitsemasta pääsuuntaa. Jos taas molemmat muuttujat ovat samassa luonnollisessa yksikössä, alkuperäinen kovarianssimatriisi voi olla juuri oikea valinta.